리 대수

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1. 개요

리 대수는 가환환 위의 가군과 리 괄호라는 이항 연산으로 구성되며, 쌍선형성, 교대성, 야코비 항등식을 만족한다. 이는 리 군을 연구하는 데 사용되었으며, 리 군의 분류와 표현 이론에 중요한 역할을 한다. 리 대수는 아벨, 멱영, 가해, 단순, 반단순 등으로 분류되며, 카르탕의 판정법, 레비 분해 등 다양한 구조론적 성질을 갖는다. 또한, 자유 리 대수, 미분, 반직접합, 몫 리 대수 등 다양한 연산을 정의할 수 있다. 2차원 이하나 3차원 실수 리 대수는 비교적 잘 분류되어 있으며, 4차원 이상에서는 복잡한 분류 체계를 갖는다.

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리 대수
개요
분야	수학, 물리학
정의	교환자를 갖춘 벡터 공간
관련 개념	리 군, 표현론, 미분기하학, 양자역학
정의
기본 정의	장 F 위의 벡터 공간 g와 다음 조건을 만족하는 쌍선형 연산 [ , ] : g × g → g를 갖춘 대수 구조이다.
조건 1 (교대성)	모든 x ∈ g에 대해 [x, x] = 0
조건 2 (야코비 항등식)	모든 x, y, z ∈ g에 대해 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0
교환자	[x, y]를 x와 y의 교환자(bracket)라고 부른다.
성질
반대칭성	교대성에 의해 [x, y] = -[y, x]가 성립한다.
리 대수의 준동형 사상	두 리 대수 g와 h 사이의 선형 변환 φ: g → h가 모든 x, y ∈ g에 대해 φ([x, y]) = [φ(x), φ(y)]를 만족하면, φ를 리 대수의 준동형 사상이라고 한다.
리 대수의 동형 사상	전단사 리 대수 준동형 사상을 리 대수 동형 사상이라고 한다.
리 대수의 부분 대수	리 대수 g의 부분 공간 h가 교환자에 대해 닫혀 있으면 (즉, x, y ∈ h이면 [x, y] ∈ h), h를 g의 부분 대수라고 한다.
리 대수의 아이디얼	리 대수 g의 부분 공간 h가 모든 x ∈ g, y ∈ h에 대해 [x, y] ∈ h를 만족하면, h를 g의 아이디얼이라고 한다.
예시
유클리드 공간의 벡터곱	3차원 유클리드 공간 R³에서 벡터곱은 리 대수의 조건을 만족한다.
행렬 리 대수	n × n 행렬의 집합 gl(n, F)는 행렬의 교환자 [A, B] = AB - BA에 대해 리 대수를 이룬다.
리 군의 리 대수	리 군 G의 항등원에서의 접공간은 리 대수의 구조를 갖는다.
응용
물리학	양자역학에서 각운동량 연산자는 리 대수를 이룬다.
미분기하학	미분다양체의 벡터장은 리 대수를 이룬다.

2. 정의

가환환 K 위의 '''리 대수'''(g, [·, ·])는 K-가군 g와 다음 조건을 만족하는 선형 변환 [·,·]: g×g → g로 이루어진다.

(쌍선형성) 모든 x, y, z ∈ g와 a, b ∈ K에 대해 [ax + by, z] = a[x, z] + b[y, z], [z, ax + by] = a[z, x] + b[z, y]이다.
(교대성) 모든 x∈g에 대하여 [x,x]=0이다.
(야코비 항등식) 모든 x, y, z ∈ g에 대해 [x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0이다.

이 이항 연산은 '''리 괄호'''(Lie bracket^영어)로 불린다. 리 대수의 '''준동형'''은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.

K에서 2의 역원 2^-1이 존재한다면 (예를 들어, K가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성(모든 x,y∈ g에 대하여 [x,y]+[y,x]=0인 성질)으로 대체할 수 있다. 2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.

통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 g, h 등으로 나타낸다.

정수환 Z 위의 리 대수를 '''리 환'''(Lie ring^영어)이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 곱셈 결합 법칙을 따르는 환을 이루지 않는다.

2. 1. 부분 대수와 아이디얼

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$의 '''부분 리 대수'''는 리 괄호에 대하여 닫혀 있는 부분 집합이다. 즉, $\mathfrak h\subseteq\mathfrak g$이며 $[\mathfrak h,\mathfrak h]\subseteq\mathfrak h$이다.

리 대수 $\mathfrak g$의 '''리 대수 아이디얼''' $I\subset\mathfrak g$는 $[\mathfrak g,I]\subseteq I$를 만족하는 부분 집합이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, '''몫 리 대수''' $\mathfrak g/I$를 정의할 수 있다.^[6] 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

예를 들어 $\mathfrak{gl}(n,F)$에서 대각 행렬의 부분 공간 $\mathfrak{t}_n$는 아벨 리 부분 대수이지만, $n\geq 2$일 때 $\mathfrak{gl}(n)$의 아이디얼이 아니다. 리 대수 $\mathfrak{g}$의 모든 1차원 선형 부분 공간은 아벨 리 부분 대수이지만, 아이디얼일 필요는 없다.

$S\subset \mathfrak{g}$의 중앙화 부분 대수는 ''$S$''와 교환하는 원소의 집합이다. 즉, $\mathfrak{z}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g : [x, s] = 0 \ \text{ for all } s\in S\}$이다. $\mathfrak{g}$ 자체의 중앙화 부분 대수는 ''중심'' $\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$이다. 부분 공간 ''S''에 대해, ''$S$''의 정규화 부분 대수는 $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S) = \{x\in\mathfrak g : [x,s]\in S \ \text{ for all}\ s\in S\}$이다.^[7] 만약 $S$가 리 부분 대수이면, $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$는 $S$가 $\mathfrak{n}_{\mathfrak g}(S)$의 아이디얼인 가장 큰 부분 대수이다.

2. 2. 등급 리 대수

환에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, '''등급 리 대수'''(等級Lie代數, graded Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다.

가환 모노이드

(D,+)

가 주어졌다고 하자. 가환환

K

위의,

D

등급을 갖는 '''등급 리 대수'''

(\mathfrak g,[\cdot,\cdot])

는 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,

:

\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d

:

[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}

이다.

리 대수는 리 괄호와 호환되는 추가적인 구조를 갖출 수 있다. 예를 들어, 등급 리 대수는 호환되는 등급을 가진 리 대수이다. (더 일반적으로는 리 슈퍼대수이다.) 미분 등급 리 대수는 추가로 미분을 포함하여, 기본 벡터 공간을 사슬 복합체로 만든다.

예를 들어, 단일 연결된 위상 공간의 호모토피 군은 화이트헤드 곱을 사용하여 등급 리 대수를 형성한다. 관련된 구성에서 다니엘 퀼렌은 대수적 관점에서 유리 호모토피 이론을 설명하기 위해 유리수

\mathbb{Q}

위에 미분 등급 리 대수를 사용했다.^[38]

3. 성질

가환환 $K$ 위의 단위 결합 대수 $(A,\cdot)$ 가 주어졌을 때, $A$ 위에 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, $A$ 는 리 대수를 이룬다.

: $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$

특히, $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 $\mathfrak{gl}(n;K)$ 이다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 $\operatorname{Vect}M$ 은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.

심플렉틱 다양체 $(M,\omega)$ 위의 매끄러운 함수 $f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 에 대하여, 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의한다.

: $\{f,g\}=\omega^{-1}(df,dg)$

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다. $\{f,-\}$ 의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 해밀턴 벡터장들로 구성된 $\operatorname{Vect}M$ 의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

보다 일반적으로, 푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 가 주어졌을 때, $\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)$ 는 $\mathbb R$ -리 대수를 이룬다.

3. 1. 리 군론적 성질

리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접하게 연관되어 있다. 모든 리 군은 그에 대응하는 왼쪽 불변 벡터장들로 구성된 유한 차원 실수 리 대수를 가지며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 그에 대응하는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류를 표준적으로 결정한다.^[33]

일반적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 해당 리 군 이름의 흑자체 소문자로 표기한다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는

\operatorname{Lie}(\operatorname{SO}(5)) = \mathfrak{so}(5)

이다.

리 대수는 자체로 연구될 수 있지만, 역사적으로는 리 군 연구의 수단으로 등장했다.

리 군과 리 대수의 관계는 다음과 같이 요약된다. 모든 리 군은

\mathbb{R}

위의 리 대수를 결정한다(구체적으로, 항등원에서의 접선 공간). 반대로, 모든 유한 차원 리 대수

\mathfrak g

에 대해, 리 대수가

\mathfrak g

인 연결 리 군

G

가 존재한다. 이는 리의 세 번째 정리이며, Baker–Campbell–Hausdorff 공식을 참고하라. 이 리 군은 유일하게 결정되지 않지만, 동일한 리 대수를 갖는 두 리 군은 "국소적으로 동형"이며, 더 나아가 동일한 보편 덮개를 갖는다. 예를 들어, 특수 직교군 SO(3)과 특수 유니타리군 SU(2)는 동형인 리 대수를 갖지만, SU(2)는 SO(3)의 단일 연결 이중 덮개이다.

"단일 연결" 리 군의 경우, 완전한 대응 관계가 성립한다. 즉, 리 대수를 취하는 것은 단일 연결 리 군에서

\mathbb{R}

위의 유한 차원 리 대수로의 범주 동치를 제공한다.

리 대수와 리 군 사이의 대응은 리 군의 분류 및 리 군의 표현 이론 등 여러 방면에서 활용된다. 유한 차원 표현의 경우, 실수 리 대수의 표현과 해당 단일 연결 리 군의 표현 사이에는 범주 동치가 성립한다. 이는 리 군의 표현 이론을 단순화하는데, 선형 대수를 사용하여 리 대수의 표현을 분류하는 것이 더 쉽기 때문이다.

모든 연결 리 군은 중심 이산군에 대해 모듈로인 해당 보편 덮개와 동형이다.^[34] 따라서 리 대수가 알려진 경우, 리 군을 분류하는 것은 단순히 중심의 이산 부분군을 세는 문제가 된다. 예를 들어, 실수 반단순 리 대수는 카르탕에 의해 분류되었으므로, 반단순 리 군의 분류는 잘 알려져 있다.

3. 2. 보편 대수학적 성질

리 군과 달리, 주어진 체

K

위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.

0항 연산:
* 0 (덧셈 항등원)
1항 연산:
* − (덧셈 역원)
* 임의의 $a\in K$ 에 대하여, 스칼라곱 $a\cdot$
2항 연산:
* + (덧셈)
* $[-,-]$ (리 괄호)

이는

K

위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.^[23]

이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.

아벨 리 대수. 이는 항등식 $[x,y]=0$ 으로 정의된다.
$k$ 형의 멱영 리 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.
$k$ 형의 가해 리 대수. 이는 유도열의 길이가 $k$ 이하인 리 대수이다.

리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체

\mathcal U

,

\mathcal V

가 주어졌을 때, 그 곱

\mathcal U\mathcal V

는

\mathcal V

의 원소들의,

\mathcal U

에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.

3. 3. 범주론적 성질

리 군과 달리, 주어진 체

K

위의 리 대수와 리 대수 준동형 사상으로 이루어진 범주

\operatorname{LieAlg}_K

는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형

\phi\colon\mathfrak g\to\mathfrak h

의 핵은

0\in\mathfrak h

의 원상

\phi^{-1}(0)

이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다.

\phi

의 여핵은 그 치역

\phi(\mathfrak g)

를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)

리 대수의 범주는 아벨 군의 범주

\operatorname{Ab}

위의 풍성한 범주(enriched category^영어)이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.

체

K

위의 단위 결합 대수의 범주

\operatorname{uAssoc}_K

에서 체

K

위의 리 대수의 범주

\operatorname{LieAlg}_K

로 가는 망각 함자

:

\operatorname{Forget}\colon\operatorname{uAssoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자

:

\mathcal U\colon\operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{uAssoc}_K

이다.

3. 4. 오퍼라드 이론적 성질

리 대수는 오퍼라드의 일종인 '리 오퍼라드'로 묘사될 수 있다. 이는 리 대수의 구조를 추상화하고, 호모토피 이론 등 다른 분야와의 연결을 가능하게 한다.

4. 연산

환에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있듯이, '''등급 리 대수'''(等級Lie代數, graded Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다. 가환 모노이드 $(D,+)$ 가 주어졌을 때, 가환환 $K$ 위의 $D$ 등급을 갖는 '''등급 리 대수''' $(\mathfrak g,[\cdot,\cdot])$ 는 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\mathfrak g=\bigoplus_{d\in D}\mathfrak g_d$

: $[\cdot,\cdot]\colon\mathfrak g_d\times\mathfrak g_{d'}\to\mathfrak g_{d+d'}$

4. 1. 중심

가환환

K

위의 리 대수

\mathfrak g

의 '''중심'''(center^영어)

\operatorname Z(\mathfrak g)

는 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\operatorname Z(\mathfrak g)=\{x\in\mathfrak g\colon[x,\mathfrak g]=0\}

이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심 개념에 대응한다.

\mathfrak{g}

자체의 중앙화 부분 대수는

\mathfrak{g}

의 '''중심'''이라고 불린다.^[7]

4. 2. 몫 리 대수

가환환

K

위의 리 대수

\mathfrak g

의 리 대수 아이디얼

\mathfrak a\subseteq\mathfrak g

가 주어졌을 때, '''몫 리 대수'''

\mathfrak g/\mathfrak a

를 정의할 수 있다. 이는 군론의 정규 부분군을 이용한 몫군, 환론의 아이디얼을 이용한 몫환과 유사한 개념이다.^[6]

K

-가군으로서,

\mathfrak g/\mathfrak a

는 몫가군

\mathfrak g/\mathfrak a

이다. 이 위에 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.

:

[x+\mathfrak a, y+\mathfrak a]=[x,y]+\mathfrak a

이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.

리 대수

\mathfrak{g}

와 그 안의 아이디얼

\mathfrak i

가 주어지면, ''몫 리 대수''

\mathfrak{g}/\mathfrak i

가 정의되며, 리 대수의 전사 준동형사상

\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{i}

가 존재한다. 제1 동형 정리는 리 대수에 대해 성립한다. 즉, 리 대수의 임의의 준동형사상

\phi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}

에 대해,

\phi

의 이미지는

\mathfrak{g}/\text{ker}(\phi)

와 동형인

\mathfrak{h}

의 리 부분 대수이다.

4. 3. 직합

가환환

K

위의 두 리 대수

\mathfrak g

,

\mathfrak h

가 주어졌을 때, 그 '''직합'''

\mathfrak g\oplus\mathfrak h

를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.^[6]

:

[g,g']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[g,g']_{\mathfrak g}\qquad\forall g,g'\in\mathfrak g

:

[h,h']_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,h']_{\mathfrak h}\qquad\forall h,h'\in\mathfrak h

:

[g,h]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=[h,g]_{\mathfrak g\oplus\mathfrak h}=0\qquad\forall g\in\mathfrak g,\;h\in\mathfrak h

보다 일반적으로,

K

-리 대수의 집합

\{\mathfrak g_i\}_{i\in I}

이 주어졌을 때, 그 직합

:

\bigoplus_{i\in I}\mathfrak g_i

를 정의할 수 있다.

두 리 대수

\mathfrak{g}

와

\mathfrak{g'}

가 주어지면, 그들의 직합은

x\in\mathfrak{g}

와

x'\in\mathfrak{g'}

의 쌍

(x,x')

으로 구성된 벡터 공간

\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}

이며, 리 괄호는 다음과 같이 정의된다.^[8]

:

[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']), \quad x,y\in\mathfrak{g},\, x',y'\in\mathfrak{g'}

4. 4. 리 대수의 확대

군의 확장을 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 '''확대'''(extension^영어)를 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열

:

0\to\mathfrak h\stackrel i\hookrightarrow\mathfrak e\stackrel q\twoheadrightarrow\mathfrak g\to0

이 주어졌다면,

\mathfrak e

를

\mathfrak g

의

\mathfrak h

로의 '''확대'''라고 한다. 만약

\ker q

가

\mathfrak e

의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) '''중심 확대'''(central extension^영어)라고 한다.

4. 5. 반직접합

군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 '''반직접합'''(semidirect sum^영어)을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.^[6] 리 대수

\mathfrak{g}

와

\mathfrak{g}

의 아이디얼

\mathfrak{i}

가 있을 때, 표준 사상

\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}

가 분해되면 (즉, 리 대수의 준동형으로 단면

\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\to \mathfrak{g}

을 허용하면),

\mathfrak{g}

는

\mathfrak{i}

와

\mathfrak{g}/\mathfrak{i}

의 반직접곱이라고 하며,

\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}

로 나타낸다.

4. 6. 미분

체

K

위의 리 대수

\mathfrak g

위의 '''미분'''(微分, derivation^영어)은 다음과 같은

K

-선형 변환이다.

:

\delta\colon\mathfrak g\to \mathfrak g

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

:

\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad\forall x,y\in\mathfrak g

리 대수

\mathfrak g

위의 미분들의 벡터 공간을

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

라고 쓴다. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 '''미분 리 대수'''(Lie algebra of derivations^영어)

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

라고 한다.

:

[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta\qquad\forall\delta,\delta'\in\mathfrak{der}(\mathfrak g)

이는

\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)

의 부분 리 대수를 이룬다. 만약

\mathfrak g

가 아벨 리 대수라면

\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)=\mathfrak{der}(\mathfrak g)

이다.

K=\mathbb R

일 경우,

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군

\operatorname{Aut}(\mathfrak g)

의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소

x\in\mathfrak g

에 대하여, 딸림표현

\operatorname{ad}_x\colon y\mapsto[x,y]

는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 '''내부 미분'''(內部微分, inner derivation^영어)이라고 한다.

리 대수

\mathfrak{g}

(사실은 임의의 비결합적 대수여도 좋다) 위의 미분은, 라이프니츠 법칙, 즉,

\mathfrak{g}

의 모든 원소에 대하여

:

\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]

가 성립하는 선형 사상

\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}

를 말한다. 야코비 항등식에 의해, 임의의

x

에 대하여,

\operatorname{ad}(x)

는 미분이다. 따라서,

\operatorname{ad}

의 상은,

\mathfrak{g}

상의 미분으로 이루어진

\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})

의 부분 대수

\operatorname{Der}(\mathfrak{g})

에 포함된다.

\operatorname{ad}

의 상에 속하는 미분은 내부 미분이라고 불린다.

\mathfrak{g}

가 반단순이면,

\mathfrak{g}

상의 모든 미분은 내부 미분이다.

5. 구조론과 분류

리 군과 달리, 주어진 체 $K$ 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.

리 대수는 그 구조에 따라 여러 종류로 분류된다.

'''아벨 리 대수'''(Abelian Lie algebra^영어)는 임의의 $x,y\in\mathfrak g$ 에 대하여 $[x,y]=0$ 인 대수다.
'''멱영 리 대수'''는 $\mathfrak g_0=\mathfrak g$ 이고, $\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g]$ 로 정의할 때, $\mathfrak g_k=0$ 인 $k\in\mathbb N$ 이 존재한다.
'''가해 리 대수'''는 $\mathfrak g_0=\mathfrak g$ 이고, $\mathfrak g_{k+1}=[\mathfrak g_k,\mathfrak g_k]$ 로 정의할 때, $\mathfrak g_k=0$ 인 $k\in\mathbb N$ 이 존재한다.
'''단순 리 대수'''는 자신이나 0이 아닌 리 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.
'''반단순 리 대수'''는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 지니지 않는 리 대수다.

이들 사이에는 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

다음과 같은 성질들이 알려져 있다.

임의의 유한 차원 실수 또는 복소 리 대수는 행렬로 충실히 표현할 수 있다. ('''아도 정리''' Ado’s theorem^영어)^[50]^[51]
임의의 유한 차원 실수 리 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타낼 수 있다. ('''레비 분해''' Levi decomposition^영어)^[52]
(실수 또는 복소수) 콤팩트 리 군의 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합이다.
모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

아벨 리 대수는 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었으나, 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.

표수 0인 대수적으로 닫힌 체

K

위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는

\mathfrak a_n

,

\mathfrak b_n

,

\mathfrak c_n

,

\mathfrak d_n

4개의 무한 족과

\mathfrak e_6

,

\mathfrak e_7

,

\mathfrak e_8

,

\mathfrak f_4

,

\mathfrak g_5

5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.

5. 1. 아벨 리 대수, 멱영 리 대수, 가해 리 대수

아벨 리 대수(Abel Lie algebra, Abelian Lie algebra^영어)는 임의의 원소

x,y\in\mathfrak g

에 대하여 리 괄호

[x,y]=0

인 리 대수이다.

멱영 리 대수(nilpotent Lie algebra)는 하위 중심 계열

:

\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supseteq 이 유한한 단계 후에 0이 되는 리 대수이다. 엥겔의 정리에 의해, 리 대수가 멱영이라는 것은 모든 원소 u 에 대해 수반 자기 준동형

:

\operatorname{ad}(u)\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad \operatorname{ad}(u)v=[u,v]

이 멱영인 것과 동치이다.

가해 리 대수(solvable Lie algebra)는 도출 열

:

\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}] \supseteq \mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g} \supseteq [\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{g}],[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]  \supseteq \cdots

이 유한한 단계 후에 0이 되는 리 대수이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:아벨 리 대수 ⊊ 멱영 리 대수 ⊊ 가해 리 대수 ⊊ 리 대수

5. 2. 단순 리 대수와 반단순 리 대수

단순 리 대수는 자명하지 않은 리 대수 아이디얼을 갖지 않고, 가환하지 않는 리 대수다.^[27] 반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 리 대수다.^[27]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

:단순 리 대수 ⊊ 반단순 리 대수 ⊊ 리 대수

모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

예를 들어, 리 대수

\mathfrak{sl}(n,F)

는 모든

n\geq 2

와 표수가 0인 (또는 ''n''을 나누지 않는) 모든 체 ''F''에 대해 단순하다. 리 대수

\mathfrak{su}(n)

는

\mathbb{R}

상에서 모든

n\geq 2

에 대해 단순하다. 리 대수

\mathfrak{so}(n)

는

\mathbb{R}

상에서

n=3

또는

n\geq 5

일 때 단순하다.^[28] (예외적인 동형

\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)

및

\mathfrak{so}(4)\cong\mathfrak{su}(2) \times \mathfrak{su}(2)

가 있다.)

리 대수의 반단순성의 개념은 그 표현의 완전 가약성(반단순성)과 밀접하게 관련되어 있다. 기저 체 ''F''의 표수가 0인 경우, 반단순 리 대수의 모든 유한 차원 표현은 반단순(즉, 기약 표현의 직합)이다.^[22]

5. 3. 카르탕의 판정법

엘리 카르탕이 제시한 카르탕의 판정법은 킬링 형식을 이용하여 리 대수가 가해 또는 반단순 리 대수임을 판정하는 방법이다. 킬링 형식은 다음과 같이 정의되는 대칭 쌍선형 형식이다.

:

K(u,v)=\operatorname{tr}(\operatorname{ad}(u)\operatorname{ad}(v)),

여기서 tr은 선형 연산자의 대각합을 나타낸다.

카르탕의 판정법에 따르면,

리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 반단순일 필요충분 조건은 킬링 형식이 비퇴화 형식인 것이다.^[30]
리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 가해일 필요충분 조건은 $K(\mathfrak{g},[\mathfrak{g},\mathfrak{g}])=0$ 이다.^[30]

5. 4. 레비 분해

Levi decomposition|레비 분해^영어는 유한 차원 실수 리 대수를 가해 아이디얼과 반단순 부분 리 대수의 반직접합으로 나타내는 정리이다.^[52] 즉, 어떤 리 대수든지 가해 성분과 반단순 성분의 결합으로 표현할 수 있다는 의미이다.

레비 분해는 리 대수의 구조를 이해하는 데 중요한 도구로 사용된다.

6. 낮은 차원의 리 대수

낮은 차원의 리 대수는 특별한 분류 체계를 갖는다. 특히 3차원 이하의 실수 리 대수는 루이지 비앙키가 도입한 비앙키 분류로 알려져 있다.^[61]

2차원 이하의 리 대수는 0차원, 1차원, 2차원 아벨 리 대수, 그리고 유일한 2차원 비가환 가해 리 대수의 네 가지 경우만 존재한다.

3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 실수 단순 리 대수는 특수 선형 대수 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$ (VIII형)와 직교 대수/유니터리 대수 $\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak u(2)$ (IX형) 두 가지가 있다.^[61]^[53] 3차원 실수 가해 리 대수는 조르당 표준형으로 분류되며, I형~VII형으로 불린다. 이들 중 I형은 아벨 리 대수, II형은 하이젠베르크 대수이자 2차원 갈릴레이 대수이며, 이 둘은 유일한 멱영 리 대수이다. III형은 $\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)$ 와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(homothety^영어, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 $\mathfrak{id}(2;\mathfrak R)$ 이며, VI₀형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 $\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)$ 와 같으며, VII₀형은 2차원 유클리드 대수 $\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)$ 와 같다.

4차원 이상의 리 대수는 레비 분해에 따라 가해 리 대수의 분류 문제로 귀결된다. 최근에는 그뢰브너 기저를 사용하여 4차원 이하의 리 대수가 완전히 분류되었다.^[54]^[55]^[56]

6. 1. 2차원 이하 리 대수

2차원 이하의 리 대수는 0차원, 1차원, 2차원 아벨 리 대수, 그리고 유일한 2차원 비가환 가해 리 대수의 네 가지 경우만 존재한다.^[15]

임의의 체

K

에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.

0차원 아벨 리 대수 $\{0\}$
1차원 아벨 리 대수 $K$
2차원 아벨 리 대수 $K^{\oplus2}$
2차원 비아벨 가해 리 대수 $K\oplus_\psi K$ . 여기서 $\psi\colon K\times K\to K$ 는 곱셈 $\psi(a,b)=ab$ 으로 잡을 수 있다.

2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.

특수 상삼각 행렬 대수 $\mathfrak{st}(2;\mathbb R)\subset\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)$ . 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다.
1차원 아핀 대수 $\mathfrak{aff}(1;\mathbb R)$

모든 체 ''F''에 대해, 동형 사상까지 고려하면 2차원 비가환 리 대수

\mathfrak{g}

는 유일하게 존재한다.^[15] 여기서

\mathfrak{g}

는 괄호 연산이

\left [X, Y\right ] = Y

로 주어지는 기저

X,Y

를 갖는다. 실수체 위에서,

\mathfrak{g}

는 실수선

x\mapsto ax+b

의 아핀 변환 리 군

G=\mathrm{Aff}(1,\mathbb{R})

의 리 대수로 볼 수 있다.

아핀 군 ''G''는 다음과 같은 행렬들의 집합과 동일시할 수 있다.

:

\left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array} \right)

행렬 곱셈 하에서

a,b \in \mathbb{R}

이고

a \neq 0

이다. 이의 리 대수는 모든 행렬로 구성된

\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R})

의 리 부분 대수

\mathfrak{g}

이다.

:

\left( \begin{array}{cc} c & d\\ 0 & 0 \end{array}\right).

이러한 관점에서,

\mathfrak{g}

의 위 기저는 다음과 같은 행렬로 주어진다.

:

X= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad Y= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right).

모든 체

F

에 대해, 1차원 부분 공간

F\cdot Y

는 공식

[X,Y]=Y\in F\cdot Y

에 의해 2차원 리 대수

\mathfrak{g}

의 아이디얼이다. 리 대수

F\cdot Y

와

\mathfrak{g}/(F\cdot Y)

는 모두 가환이다(1차원이기 때문에). 이러한 의미에서,

\mathfrak{g}

는 가환적인 "조각"으로 나눌 수 있으며, 이는 가해(하지만 멱영은 아님)임을 의미한다.

6. 2. 3차원 실수 리 대수

3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다.

실수 반단순 리 대수는

\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)

와

\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak{su}(2)

두 개가 있다.

\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)

는 '''VIII형''',

\mathfrak o(3;\mathbb R)

는 '''IX형'''으로 불린다.^[61]^[53]

3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합

\mathbb R^2\oplus_\psi\mathbb R

으로 나타낼 수 있다. 이때 작용

:

\psi\colon\mathbb R\to\mathfrak{der}(\mathbb R^2)=\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)

:

\psi\colon t\mapsto t\psi(1)

는 2×2 실수 정사각 행렬

\psi(1)\in\mathfrak{gl}(2;\mathbb R)

에 의하여 완전히 결정된다.

\psi(1)

과

\alpha M^{-1}\psi(1)M

(

\alpha\in\mathbb R^\times

,

M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)

)는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이

\psi(1)

의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 '''I형'''~'''VII형'''으로의 이름이 붙어 있다.^[61]^[53]

:

\psi(1)=\begin{cases}\begin{pmatrix}\lambda&1\\&\lambda\end{pmatrix},\;\lambda\in\mathbb R&\begin{cases}\lambda=0&\text{II}\\\lambda\ne0&\text{IV}\end{cases}\\\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix},\;\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R,\;\lambda_1\le\lambda_2&\begin{cases}\lambda_1=\lambda_2=0&\text{I}\\\lambda_1=\lambda_2\ne0&\text{V}\\\lambda_1=-\lambda_2\ne0&\text{VI}_0\\\lambda_1=0<\lambda_2\lor\lambda_1<\lambda_2=0&\text{III}\\\lambda_1\ne\pm\lambda_2,\;\lambda_1\ne0\ne\lambda_2&\text{VI}\end{cases}\\\begin{pmatrix}a-ib&0\\0&a+ib\end{pmatrix},\;a\in\mathbb R,\;b\in\mathbb R^+&\begin{cases}a=0&\text{VII}_0\\a\ne0&\text{VII}\end{cases}\end{cases}

이 가운데 '''I형'''은 아벨 리 대수이며, '''II형'''은 하이젠베르크 대수

\mathfrak h(3;\mathbb R)

이자 2차원 갈릴레이 대수

\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)

이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. '''III형'''은 직합

\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)

와 같다. '''V형'''은 평면의 닮음 변환군(homothety^영어, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수

\mathfrak{id}(2;\mathfrak R)

이며, '''VI₀형'''은 (1,1)차원 푸앵카레 대수

\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)

와 같으며, '''VII₀형'''은 2차원 유클리드 대수

\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)

와 같다. II형과 VI₀형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. '''VI형'''과 '''VII형'''은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.^[61]^[53]

즉,

:

\psi(1)=\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}

일 경우,

\mathfrak g=\operatorname{Span}\{x,y,t\}

로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.

:

[t,x]=ax

:

[t,y]=t(bx+cy)

형	다른 이름	단일 연결 리 군의 중심	외부자기동형군	성질
I형	아벨 리 대수 $\mathbb R^3$	$\mathbb R^3$	$\operatorname{GL}(3;\mathbb R)$	아벨 리 대수
II형	하이젠베르크 대수 $\mathfrak h(3;\mathbb R)$ , 갈릴레이 대수 $\mathfrak{gal}(2;\mathbb R)$	$\mathbb R$	$\operatorname{GL}(2;\mathbb R)$	멱영 리 대수
III형	$\mathbb R\oplus\mathfrak{st}(2;\mathbb R)$	$\mathbb R$	$\mathbb R^\times$	가해 리 대수
IV형		0	$\mathbb R\times(\mathbb Z/2)$
V형	닮음 변환 대수 $\mathfrak{id}(2;\mathbb R)$		$\{M\in\operatorname{GL}(2;\mathbb R)\colon\det M=\pm1\}$
VI형			$\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)$
VI₀형	푸앵카레 대수 $\mathfrak{iso}(1,1;\mathbb R)$		$\mathbb R\times\operatorname{Dih}(\mathbb Z/4)$
VII형			$\mathbb R^\times$
VII₀형	유클리드 대수 $\mathfrak{iso}(2;\mathbb R)$	$\mathbb Z$	$\mathbb R^\times\times(\mathbb Z/2)$
VIII형	특수 선형 대수 $\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)$	$\mathbb Z$	$\mathbb Z/2$	단순 리 대수
IX형	직교 대수/유니터리 대수 $\mathfrak o(3;\mathbb R)\cong\mathfrak u(2)$	$\mathbb Z/2$	1	단순 리 대수

6. 3. 4차원 이상

레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수를 갖는 체 위에서 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.^[54]^[55]^[56]

7. 예

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위에 자명한 리 괄호 $[a,b]=0$ 을 부여하면 아벨 리 대수를 이룬다.
단위 결합 대수 $(A,\cdot)$ 가 주어졌을 때, $A$ 위에 환 교환자를 리 괄호 $[a,b]=a\cdot b-b\cdot a$ 로 정의하면 $A$ 는 리 대수가 된다.^[4]
미분으로 구성된 미분 리 대수.
주어진 집합의 원소들로 생성되는 가장 일반적인 리 대수인 자유 리 대수.^[20]
매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.^[42]
형식적 멱급수환으로 만들어지는 형식적 벡터장 리 대수.^[57]
0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 반단순 리 대수.
군의 중심렬 $G=G_0\ge G_1\ge\cdots$ 에서, $[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}$ 와 같이 정의하여 만들어지는 리 대수.^[42]
점을 가진 공간 $X$ 위의 호모토피 군 $\pi_k(X)$ 위에 화이트헤드 괄호라는 쌍선형 이항 연산을 통해 만들어지는 리 대수.^[59]
2차원 등각 장론과 끈 이론에 등장하는 무한 차원 리 대수인 비라소로 대수.^[20]
아핀 리 대수와 그 일반화인 카츠-무디 대수는 무한 차원 리 대수의 예이다.
하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.
모얄 대수는 모든 고전 리 대수를 부분 대수로 포함하는 무한 차원 리 대수이다.

7. 1. 아벨 리 대수

가환환

K

위의 가군

V

위에 자명한 리 괄호

[a,b]=0

을 부여하면 리 대수를 이룬다. 이를 '''아벨 리 대수'''(Abelian Lie algebra^영어)라고 한다. 만약

K

가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.^[57]

영 벡터 공간에 항등적으로 0인 리 괄호를 부여하면 리 대수가 된다. 이러한 리 대수를 아벨 리 대수라고 한다. 모든 1차원 리 대수는 리 괄호의 교대성에 의해 아벨 리 대수이다.

7. 2. 단위 결합 대수의 리 대수 구조

가환환

K

위의 단위 결합 대수

(A,\cdot)

가 주어졌을 때,

A

위에 환 교환자를 리 괄호로 정의하면

A

는 리 대수가 된다.^[4]

:

[a,b]=a\cdot b-b\cdot a

특히,

K

위의

n\times n

정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수

\mathfrak{gl}(n;K)

이다.^[5]

7. 3. 미분

체

K

위의 리 대수

\mathfrak g

위의 '''미분'''(微分, derivation^영어)은 다음과 같은

K

-선형 변환이다.

:

\delta\colon\mathfrak g\to \mathfrak g

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

:

\delta[x,y]=[\delta x,y]+[x,\delta y]\qquad\forall x,y\in\mathfrak g

리 대수

\mathfrak g

위의 미분들의 벡터 공간을

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 '''미분 리 대수'''(Lie algebra of derivations^영어)

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

라고 한다.

:

[\delta,\delta']=\delta\circ\delta'-\delta'\circ\delta\qquad\forall\delta,\delta'\in\mathfrak{der}(\mathfrak g)

이는

\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)

의 부분 리 대수를 이룬다. 만약

\mathfrak g

가 아벨 리 대수라면

\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)=\mathfrak{der}(\mathfrak g)

이다.

K=\mathbb R

일 경우,

\mathfrak{der}(\mathfrak g)

는 (리 군인) 자기 동형군

\operatorname{Aut}(\mathfrak g)

의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.

임의의 원소

x\in\mathfrak g

에 대하여, 딸림표현

\operatorname{ad}_x\colon y\mapsto[x,y]

는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 '''내부 미분'''(內部微分, inner derivation^영어)이라고 한다.

7. 4. 자유 리 대수

리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, '''자유 리 대수'''(free Lie algebra^영어)를 정의할 수 있다. 자유 리 대수는 주어진 집합의 원소들로 생성되는 가장 일반적인 리 대수이다.^[20] 집합

S

위의 자유 리 대수를

L(S)

라고 하고,

S

위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를

K\langle S\rangle

라고 하자. 그렇다면

L(S)

는 자연스럽게

K\langle S\rangle

의 부분 집합을 이루며,

K\langle S\rangle

는

L(S)

의 보편 포락 대수이다.

L(S)

는

K\langle S\rangle

속의,

S

로 생성되는 부분 리 대수이다.

7. 5. 벡터장

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간

\operatorname{Vect}M

은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.^[42]

리 군

G

위의 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수

\operatorname{Lie}G

를 이룬다. 이는

\operatorname{Vect}G

의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.

심플렉틱 다양체

(M,\omega)

위의 매끄러운 함수

f,g\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)

에 대하여, 푸아송 괄호를 사용하면,

\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)

는

\mathbb R

-리 대수를 이룬다.

\{f,-\}

꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉,

\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)

는 해밀턴 벡터장들로 구성된

\operatorname{Vect}M

의 부분 리 대수이다.

푸아송 다양체

(M,\{,\})

가 주어졌을 때,

\mathcal C^\infty(M,\mathbb R)

는

\mathbb R

-리 대수를 이룬다.

미분 다양체 ''M'' 위의 매끄러운 벡터장의 공간은 리 대수를 이룬다. 여기서 리 괄호는 벡터장의 교환자로 정의된다. 리 괄호를 표현하는 한 가지 방법은 리 미분 형식화에 의한 것이다. 벡터장 ''X''를 매끄러운 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자 ''L''_''X''와 같이 동일시한다. 즉, ''L''_''X''(''f'')를 함수 ''f''의 ''X'' 방향의 방향 미분으로 한다. 두 벡터장의 리 괄호 [''X'', ''Y'']는 다음 식을 통해 함수에 대한 작용으로 정의되는 벡터장이다.

:

L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

7. 6. 형식적 벡터장

미분 다양체 ''M'' 위의 매끄러운 벡터장의 공간은 리 대수를 이룬다. 여기서 리 괄호는 벡터장의 교환자로 정의된다. 리 괄호를 표현하는 한 가지 방법은 리 미분의 형식화에 의한 것이다. 벡터장 ''X''를 매끄러운 함수에 작용하는 1차 편미분 연산자 ''L''_''X''와 같이 동일시한다. 즉, ''L''_''X''(''f'')를 함수 ''f''의 ''X'' 방향의 방향 미분으로 한다. 두 벡터장의 리 괄호 [''X'', ''Y'']는 다음 식을 통해 함수에 대한 작용으로 정의되는 벡터장이다.

::

L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,

7. 7. 반단순 리 대수

반단순 리 대수는 0이 아닌 가환 리 대수 아이디얼을 갖지 않는 리 대수이다. 모든 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.^[50]^[51]^[52]

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 반단순 리 대수는 완전히 분류되어 있다. 이들은 단순 리 대수들의 직합으로 표현되며, 단순 리 대수는

\mathfrak a_n

,

\mathfrak b_n

,

\mathfrak c_n

,

\mathfrak d_n

의 네 가지 무한 족과

\mathfrak e_6

,

\mathfrak e_7

,

\mathfrak e_8

,

\mathfrak f_4

,

\mathfrak g_5

의 다섯 가지 예외적 단순 리 대수로 분류된다.

반단순 리 대수의 분류는 카르탕 부분 대수와 근계의 개념을 통해 이루어진다. 반단순 리 대수

\mathfrak g

안에 카르탕 부분 대수

\mathfrak h

를 잡으면,

\mathfrak g

는 근계

\Phi

에 의해 결정되는 등급 리 대수를 이룬다.

7. 8. 중심렬

군의 중심렬

:

G=G_0\ge G_1\ge\cdots

이 주어졌다고 하자. 즉, 모든

i\in\mathbb N

에 대하여

:

[G_i,G_j]\le G_{i+j}

라고 할 때,

G_i/G_{i+1}

은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하면,

:

L=\bigoplus_{i=0}^\infty G_i/G_{i+1}

는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의한다.

:

[xG_i,yG_j]=x^{-1}y^{-1}xyG_{i+j}

그러면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.^[42]

7. 9. 호모토피 군

점을 가진 공간

X

위의 호모토피 군

\pi_k(X)

위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.^[59]

:

[,] \colon \pi_k(X)\times\pi_l(X)\to\pi_{k+l-1}(X)

이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다.^[59] 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군

:

\mathfrak g_k=\pi_{k-1}(X;\mathbb Q)

을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.

7. 10. 기타 예

비라소로 대수는 2차원 등각 장론과 끈 이론에 등장하는 무한 차원 리 대수이다.^[20]
아핀 리 대수와 그 일반화인 카츠-무디 대수는 무한 차원 리 대수의 예이다.
하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 대표적인 예이다.
Kac–무디 대수는 $\mathfrak{sl}(n,\C)$ 와 같은 유한 차원 단순 리 대수와 유사한 구조를 갖는 무한 차원 리 대수이다.
모얄 대수는 모든 고전 리 대수를 부분 대수로 포함하는 무한 차원 리 대수이다.

8. 역사

소푸스 리는 1870년대에 무한소 변환 개념을 연구하면서 리 대수를 도입했으며,^[1] 1880년대에는 빌헬름 킬링이 독자적으로 발견했다.^[2] 1930년대에 헤르만 바일이 '리 대수'라는 이름을 붙였는데, 이전에는 '무한소군'이라는 용어가 사용되었다.

리 대수는 그 자체로도 연구되지만, 역사적으로는 리 군 연구를 위한 도구로 등장했다. 리 군과 리 대수의 관계는 리의 기본 정리에 의해 설명된다. 모든 리 군은 표준적으로 리 대수를 결정하며, 반대로 모든 리 대수에 대해 대응하는 연결 리 군이 존재한다(리의 제3 정리, Baker–Campbell–Hausdorff formula|베이커-캠벨-하우스도르프 공식^영어 참조). 이 리 군은 유일하게 결정되지는 않지만, 같은 리 대수를 갖는 연결 리 군들은 국소 동형이며, 특히 같은 보편 피복을 갖는다. 예를 들어 특수 직교군 SO(3)과 특수 유니타리 군 SU(2)는 같은 리 대수를 가지며, 이는 크로스 곱을 갖는 '''R'''³과 동형이다. SU(2)는 SO(3)의 단일 연결 이중 피복이다.

참조

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